Potencias

Una niña, Luisa, quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

	Operación	Resultado
Padres	2 = 21	2
Abuelos	2*2 = 22	4
Bisabuelos	2*2*2 = 23	8
Tatarabuelos	2*2*2*2 = 24	16

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo 
varias veces. 
Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2⁴ y lo llamaremos potencia.

2⁴ se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

5² se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual.

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 2⁴, la base es 2 y el exponente es 4.

Producto de potencias de la misma base.

Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento: 43 = 4 * 4 * 4  y 45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4, luego 43 * 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) =  48 = 43+5 En general: El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores am * an = am+n Cociente de potencias de la misma base. De manera similar al producto, puedes deducir la siguiente regla general: El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor. am : an = am-n Por ejemplo, 45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3 Potencia de una potencia. Si queremos calcular (45)3  utilizamos la siguiente razonamiento: (45)3 = 45 * 45 * 45 = 45+5+5 = 45*3 Y deducimos así la siguiente regla: Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva: (am)n = am*n

Potencia de un producto.

Si queremos realizar la siguiente operación: (2*3)3, observamos que (2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33 Para calcular el resultado podemos multiplicar 2*3 y elevar el producto al cubo: (2*3)3 = 63 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores 23 = 8 y 33= 27 y multiplicar el resultado 8*27 = 216. En general: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. (a*b)m = am * bm Potencia de un cociente. De manera similar al caso de la potencia de un producto es fácil deducir que La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor (a/b)m = am / bm Potencia de exponente 0 y 1. La potencia 41 = 4; también 151 = 15. La potencia 40 = 1 y 150 = 1.  Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. La potencia elevada a exponente 0 es igual a 1. El decir que 50 = 1, en realidad es un convenio, pues tal como se define una potencia no tiene sentido. La potencia se define como producto de factores iguales, donde la base se multiplica tantas veces como indica el exponente, o sea que 52 = 5 x 5 = 25 Por otra parte si dividimos dos potencias de la misma base se obtiene una potencia de la misma base y de exponente la diferencia de los exponentes. Por ejemplo ( Esta propiedad se puede probar así:  ) Ahora, si tenemos se puede razonar de dos formas: 1) Aplicando lo que acabamos de decir, será  2) Pero por otro lado  Por eso hay el convenio de que 50 = 1.  Lo mismo se puede decir para cualquier número elevado a cero.  En general  a0 = 1. AHORA UNA CURIOSIDAD MATEMÁTICA Pitágoras descubrió que existía otra forma de hallar la potencia cuadrática de un número. Este proceso consiste en sumar todos los números impares empezando de la unidad hasta cubrir la cantidad de números que sean igual a la base dada: 42 = 1+3+5+7 = 16 (se suman los 4 primeros números impares) 72 = 1+3+5+7+9+11+13 = 49 (se suman los 7 primeros números impares)