Decimales

Para comenzar el año vemos el calendario matemático para 2014


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Vamos a comenzar con dos juegos: 

 Los números 

Diffy 

DECIMALES


Convertir Fracciones a Decimales

El método más simple es usar una calculadora.

¡Nada más divide el numerador (la parte de arriba de la fracción) por el denominador (la de abajo) y lee la respuesta!

Ejemplo: ¿Cuánto es 5/8 como fracción?

... toma tu calculadora y pon "5 / 8 =", la respuesta debe ser 0,625

Convertir Decimales a Fracciones 

Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.
Paso 2: Multiplica el  numerador y  denominador, por 10 una vez por cada decimal luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)
Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción

Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción

Paso 1: Escribe:

0.75
1
Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100
0.75=75
1100
× 100

(¿Ves como el numerador se convierte en un entero?)Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25
75=3
1004
÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 

3/4 es llamada una fracción común !


Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción

Paso 1: escribe:
0.625
1

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1.000)


625
1.000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

÷ 25÷ 5
   
625=25=5
1.000408
   
÷ 25÷ 5

Respuesta = 5/8

 

Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracción

Paso 1: Escribe abajo:

0.333
1
Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1000)
333
1000
Step 3: Simplifica la Fracción:

¡No se puede simplificar!

Respuesta = 333/1000

Pero una Nota Especial:

Si en realidad quieres expresar 0,333... (en otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos: 


0,333...
1
 

Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:

× 3
0.333...=0.999...
13
× 3

Y 0.999... = 1 (¿Es así? - Esta historia te lo demuestra), así que:

Respuesta = 1/3  

Pequeña historia

Hace unos días, Leonhard puso en su perfil de Facebook una pregunta matemática que dividió a los economistas y actuarios que los tenemos de amigo (amigo en Facebook, que se entienda; porque después el tipo se agranda y se cree que cae simpático a una multitud).


La pregunta es la que da título a este post.


¿0,9 periódico es igual a 1?


Rápidamente, los economistas y actuarios dijimos, unánimemente y a coro: “¡Noooooooo! ¡Son dos números distintos!”


Bueno, Leonhard nos mandó esta demostración y nos quemó los papeles: 


1 = 3 / 3 = 3 x (1/3) = 3 x 0,3 periódico = 0,9 periódico


Q.E.D.


Como se imaginarán, se abrieron las aguas de la unanimidad y empezamos a pelearnos todos, a favor y en contra de la demostración. El combate sigue arduamente, como tipos tozudos que nos preciamos de tal, pero dio motivo a este post. 


Efectivamente, 0,9 periódico (esto es, 0,99999999… infinitos nueves) es igual a 1. Ambas expresiones son idénticos modos de representar la unidad. 


Hay un muy buen artículo en Wikipedia, porque expone varias demostraciones de esta igualdad (ya probada en 1770 por Leonhard Euler):



El periódico 0,999 



DECIMALES



Definición de decimal

La palabra "Decimal" quiere decir "basado en 10" (de la palabra latina décimauna parte de diez).
A veces decimos "decimal" cuando hablamos de nuestro sistema de números, pero un "número decimal" normalmente tiene un punto decimal.

Cómo entender los números decimales...

... como un número entero más décimas, centésimas, etc.

Puedes pensar que un número decimal es un número entero más décimas, centésimas, etc.:

Ejemplo 1: ¿ Qué es 2,3 ?

  • A la izquierda hay "2", esa es la parte entera.
  • El 3 está en el sitio de los "décimos", así que son "3 décimos", o 3/10
  • Así, 2.3 es "2 y 3 décimos"

Ejemplo 2: ¿ Qué es 13,76 ?

  • A la izquierda hay "13", esa es la parte entera.
  • Hay dos cifras en la parte derecha, el 7 en el sitio de las "décimas", y el 6 en el sitio de las "centésimas"
  • Así que 13.76 es "13 y 7 décimas y 6 centésimas"

... como una fracción decimal

O puedes entender un número decimal como una fracción decimal.
Una fracción decimal es una fracción donde el denominador (el número de abajo) es 10, 100, 1000, etc. (o sea, una potencia de diez).
Así que "2,3" sería así:
23
10
Y "13,76" sería así:
1376
100

... como un número entero y una fracción decimal

O puedes pensar en un número decimal como un número entero más una fracción decimal.
Así que "2,3" sería:
2 y 
3
10
Y "13,76" sería:
13 y 
76
100
En el número 327:
  • el "7" está en la posición de las unidades, así que vale 7 (o 7 "1"s),
  • el "2" está en la posición de las decenas, así que son 2 dieces (o veinte),
  • y el "3" está en la posición de las centenas, así que vale 3 cientos.
Notación posicional
"Trescientos veintisiete"
izqCuando vamos a la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más!
De unidades, a decenas, a centenas
... y ...
Cuando vamos a la derecha, cada posición es 10 veces más pequeña.dcha
De centenas, a decenas, a unidades
decimales-décimos
¿Pero qué pasa si seguimos después de las unidades?
¿Qué es 10 veces más pequeño que las unidades?
¡1/10 (décimos)!

Pero tenemos que poner un punto decimal (o coma decimal, depende de dónde vivas), para que sepamos exactamente dónde está la posición de las unidades:décimos
"Trescientos veintisiete y cuatro décimos"
¡Y eso es un número decimal!

Punto decimal

El punto decimal es la parte más importante de un número decimal. Está exactamente a la derecha de la posición de las unidades. Sin él, estaríamos perdidos y no sabríamos cuál es cada posición.
Ahora podemos seguir con valores más y más pequeños, como décimascentésimas, y más, como en este ejemplo:


Con nuestro sistema decimal podemos escribir números tan grandes o pequeños como queramos, usando el punto decimal. Podemos poner cifras a la izquierda o derecha del punto decimal, para indicar valores mayores que uno o menores que uno.

Tomemos un rectángulo del tamaño que deseemos. Sea del tamaño que sea, diremos que tiene tamaño unidad, su longitud será de 1 unidad y será el que está dibujado de color rojo.
Si tomamos ese cuadrado y lo divido en 10 partes iguales y tomo la primera, obtendré el rectángulo azul. Este rectángulo será la décima parte del anterior. Si tomo este último rectángulo y, a su vez, lo divido en otras 10 partes tendré 0,1 veces el azul, o sea, 0,01 veces el rojo.

rectangulo_partes
Definición:

geothesito_definicion_120x1La décima, la centésima son unidades decimales. También lo son la milésima (m), la diezmilésima, etc.
décimacentésimamilésimadiezmilésima....
0,10,010,0010,00010,....1


  • Descomposición de un número decimal
Un número decimal se puede descomponer de varias formas, como se muestra en esta tabla:
NúmeroDescomposiciónLectura
2,375
2,375
2,375
2 + 0,3 + 0,07 + 0,005
2 + 0,375
2 + 0,37 + 0,005
2 unidades, 3 décimas, 7 centésimas y 5 milésimas.
2 unidades y 375 milésimas.
2 unidades, 37 centésimas y 5 milésimas.



  • Suma de números decimales
Vamos a sumar dos números decimales: 5,7 y 1,8.
Para ello, usaremos dos métodos uno gráfico y otro más matemático.
Si el 5,7 fuese una barra de dicha longitud podría representarse como:
rectangulo_partes_5_7
de la misma forma, representamos una barra de 1,8 metros:
rectangulo_partes_1_8
Para hallar la longitud de la b arra resultante hay que sumar 5,7 m y 1,8 m,
para ello unimos las dos barras como muestra la figura::
suma5_7-y5_8
La longitud de la barra es 7,5 metros.
suma_7_21_2_02
Definición:

geothesito_definicion_120x1P ara sumar números decimales:
  • Se escribe uno debajo de otro de modo que coincidan las unidades del mimo orden y la coma decimal.
  • Se suman como si fueran números naturales.
  • En el resultado se pone la coma debajo de las comas de los sumandos.

  • Resta de números decimales.
Para restar dos números decimales imaginaremos que de una barra que mide 5,7 m, se corta un trozo de 1,8 m.
resta5_7-y1_8
Para hallar la longitud del otro trozo hay que restar 5,7 m y 1,8 m:
Matemáticamente:
5,7-1,8=3,9.
La longitud del otro trozo es 3,9 m.
Definición:

geothesito_definicion_120x1Para restar dos números decimales:
  • Se escribe uno debajo de otro de modo que coincidan las unidades del mimo orden y la coma decimal.
  • Se restan como si fueran números naturales.
  • En el resultado se pone la coma debajo de las comas del minuendo y el sustraendo.


Multiplicación y división de decimales por potencias de 10
Al multiplicar decimales por una potencia de 10, debemos correr la coma del decimal a la derecha según cuantos ceros tenga la potencia de 10 y al dividir decimales por potencias de 10, debemos seguir el mismo procedimiento, pero esta vez la coma la debemos correr hacia la izquierda.
Ejemplo:
Foto 32
Cuando al multiplicar, la potencia de 10 tiene más ceros que las cifras decimales del otro factor, debemos agregar cuantos ceros sean necesarios después de la última cifra decimal.
En el caso de las divisiones en que la potencia tenga más ceros que las cifras enteras del otro factor, debemos anteponer cuantos ceros sean necesarios a la izquierda de la parte entera del decimal.
Así:
Foto 33
2) Multiplicación y división de decimales
Al multiplicar dos números decimales debemos seguir el mismo procedimiento que utilizamos al multiplicar dos números naturales como muestra la siguiente figura:
Foto 34
Luego contaremos cuantos dígitos hay después de la coma en ambos factores. Ojo que no deben contabilizarse ceros que estén después del último dígito de la parte decimal. Luego debemos poner la coma esa cantidad de espacios partiendo desde el último dígito del producto, es decir, de derecha a izquierda.
Como tenemos 3 dígitos después de la coma entre los dos factores, debemos poner la coma en el producto como se muestra a continuación:
Foto 35
En el caso de la división debemos multiplicar tanto el dividendo como el divisor por la misma potencia de 10 que sea necesario para que ambos decimales queden expresados como números decimales con período cero, es decir, como números naturales. Luego debemos dividir como lo hacemos con dos números naturales.
Veamos un ejemplo:
Foto 36



Página de divisiones de decimales AQUÍ 

Juego del KENKEN  Para empezar con los más sencillos AQUÍ 

¿Sabes cuadrar dos círculos? Se hace ASÍ 

Matemáticas interactivas y divertidas