DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS NATURALES
DIVISIBILIDAD
Múltiplos y divisores
Si el cociente de dos números naturales,
a : b, es exacto,
diremos que a es múltiplo de b y que
b es divisor de a.
56 : 7 = 8
“56 es múltiplo de 7
y 7 es divisor de 56”
“56 es múltiplo de 7
y 7 es divisor de 56”
La relación de divisibilidad también puede expresarse así:
“a es múltiplo de b si hay otro número que multiplicado por b da como resultado a".
“a es múltiplo de b si hay otro número que multiplicado por b da como resultado a".
“56 es múltiplo de 7 porque hay otro número, el 8, tal que 7 . 8 = 56”
Si multiplicamos a por cualquier número, obtenemos múltiplos de a:
8 . 1 = 8 8 . 2 = 16 8 . 3 = 24 … 8 . 11 = 88 …
8, 16, 24, …, 88,… son múltiplos de 8 y, a su vez, 8 es divisor de todos ellos.
Propiedades de los múltiplos y divisores
- Todo número natural es múltiplo de 1.
- Todo número natural es múltiplo y divisor de sí mismo.
- Los divisores de un número “n” forman parejas cuyo producto es “n”
Por ejemplo:
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 . 12 = 1 2 . 6 = 12 3. 4 = 12
Números compuestos y números primos
- Un número compuesto es el que se puede expresar como producto de factores más simples.
- Un número compuesto tiene divisores distintos de él mismo y la unidad.
- Un número primo es el que no puede descomponerse en factores.
Los únicos divisores de un número primo son él mismo y la unidad.
- Los número primos menores de 100 son:
1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 - 97
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Números primos entre sí
Dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad.
Por ejemplo: 12 y 25
Divisores de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 25: 1, 5, 25
Criterios de divisibilidad
2
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Un número es múltiplo de 2 si termina en cifra par.
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3
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Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
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9
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Un número es múltiplo 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
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5
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Un número es múltiplo 5 si termina en 0 o en 5.
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10
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Un número es múltiplo de 10 si termina en 0.
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11
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Se suman las cifras de lugar par por un lado y las del lugar impar por otro.
Se restan las cantidades obtenidas.
El número es múltiplo de 11 si la diferencia obtenida es 0 o múltiplo de 11.
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n
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Para saber si un número “a” es múltiplo de otro cualquiera “n”, se divide a entre n y se mira si la división es exacta.
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Descomposición de un número en factores primos
Es la descomposición factorial más minuciosa posible y, para cada número, es única.
Para descomponer un número en sus factores primos se va dividiendo entre los sucesivos números primos, a partir del 2, y tomando cada cociente exacto como nuevo dividendo.
Por ejemplo:
594 = 2 . 33 . 11
Cálculo del máximo común divisor de dos o más números
Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores primos comunes elevados al menor exponente.
Ejemplo: M.C.D. de 30 y 36
 |  | 30 = 2 .3 .5 36 = 22 . 32 M.C.D ( 30, 36) = 2 . 3 = 6 |
Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números
Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Ejemplo m.c.m de 30 y 36
m. c. m. (30 , 36) = 22 . 32 . 5 = 180
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Enlaces a ejercicios y problemas de este tema
Primos y divisores
Criba de Eratóstenes hasta 200
Números primos gemelos
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Mira que maravillosa sucesión de números.
La suma de los divisores del
220 es igual a 284.
Y la de divisores de 284, igual a 220.
Son números
amigos.
Son una combinación muy infrecuente.
Fermat o Descartes
solo lograron descubrir un par, cada uno de ellos.
¿No te parece
hermoso? ¡Que la fecha de tu cumpleaños y el número grabado en mi reloj
de pulsera estén unidos por un lazo tan maravilloso…!
El número perfecto es el que al sumar sus divisores es igual a ese número.
- El número perfecto más pequeño es el 6 porque 6=1+2+3
- Ah, es verdad. Así que no es nada extraordinario.
- Si, qué va, al contrario. Es un número maravilloso que encarna verdaderamente el significado de “perfecto”.
- Naturalmente, excepto en los números perfectos, la suma de los divisores de un número, o bien lo supera o bien es inferior a él.
Cuando
lo supera se llama número abundante y cuando es inferior, se llama
deficiente.
¿No te parece en verdad que son apelativos muy claros?
Yoko Ogawa. La fórmula preferida del profesor. Ed. Funambulista